គណិតវិទ្យា/រូបមន្តផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

រូបមន្តផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

ក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងបង្ហាញពីវិធីទូទៅបី ក្នុងការស្វែងរកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណគឺ

$[ABC]=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=rs$

ដែល $h_a$ គឺជាកម្ពស់ទៅនឹងជ្រុង $a$, $s$ គឺជាពាក់កណ្ដាលបរិមាត្រ, និង $r$ ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុងត្រីកោណ។

$[ABC]=\frac{a{h}_a}{2}$

យើងនឹងចាប់ផ្ដើមជាមួយត្រីកោណកែង។ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះ ត្រីកោណប៉ុនគ្នា $ABC$ និង $CDA$ រួមជាមួយគ្នាបង្កើតបានជាត្រីកោណកែង។ មានន័យថា ផ្ទៃនៃត្រីកោណទាំងពីរប៉ុនគ្នា ឬផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផ្ទៃចតុកោណចែកជាពីរ។ ដោយផ្ទៃក្រឡាចតុកោណស្មើនឹងបណ្ដោយគុណនឹងទទឹង គេបាន

$[ABC]=\frac{[ABCD]}{2}=\frac{(AB)(BC)}{2}$

ចំណែកក្នុងរូបទីពីរ យើងមានត្រីកោណមួយ ដែលមានមុំទាំងអស់ជាមុំស្រួច។ ដំបូងយើងគូរកម្ពស់ $AX$។ ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ស្មើនឹងផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABX$ បូកនឹងផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ACX$។ យើងបាន

$[ABC]=[ABX]+[ACX]=\frac{(BX)(AX)}{2}+\frac{(CX)(AX)}{2}=\frac{(AX)(BC)}{2}$

$[ABC]=\frac{ab\sin C}{2}$

ក្នុងត្រីកោណ $ABC$ យើងគូរកម្ពស់ $AX$។ តម្លៃ $\sin C$ គឺ

$\sin C=\frac{AX}{AC}=\frac{h_a}{b}$

យកតម្លៃ $\sin C$ ទៅជំនួសក្នុង $\frac{1}{2}ab\sin C$។ យើងបាន

$\frac{1}{2}ab\sin C=\left(\frac{ab}{2}\right)\left(\frac{h_a}{b}\right)=\frac{a{h}_a}{2}=[ABC]$

យើងនឹងបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងនេះក្នុងត្រីកោណមានមុំទាលម្ដង។

ចំពោះគ្រប់មុំ $\theta$, $\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$។ យើងគូរកម្ពស់ $AX$។ ដោយ $\sin \beta =\frac{h_a}{b}$ យើងបាន

$\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{2}\sin (180^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}ab\sin \beta =\left(\frac{ab}{2}\right)\left(\frac{h_a}{b}\right)=\frac{a{h}_a}{2}=[ABC]$

$[ABC]=rs$

យើងគូរកាំរង្វង់ទៅកែងនឹងបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ ហើយគូរអង្កត់ពីកំពូលត្រីកោណ $ABC$ ទៅផ្ចិតរង្វង់។ យើងបាន

$[ABC]=[AIB]+[CIB]+[AIC]$

            $=\frac{(IZ)(AB)}{2}+\frac{(IX)(CB)}{2}+\frac{(IY)(AC)}{2}$

             $=\frac{r(AB+CB+AC)}{2}$

             $=rs$

លំហាត់គំរូ

លំហាត់1

យើងមានត្រីកោណសម័ង្សមួយមានប្រវែងជ្រុង $s$។ ស្វែងរកផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដោយ $s$។

ដំណោះស្រាយលំហាត់1

ដោយត្រីកោណនេះជាត្រីកោណសម័ង្ស មុំទាំងអស់របស់វាមានរង្វាស់ $60^{\circ }$។

គេបាន

$[ABC]=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{s^2\sin 60^{\circ }}{2}=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$